第3组风电作业 | MCBen’s Blog

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📝 hw1

在拟合威布尔分布时，常用的方法是通过最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）来估计参数。威布尔分布的最大似然估计可以通过以下步骤来进行：

1.威布尔分布概率密度函数（PDF）：

威布尔分布的概率密度函数为：

2.最大似然估计:

大致思想：对于选取的样本X，使得出现该样本值得可能性最大，即使得最大

求解:

由于是得单调递增函数，即可转化为求对数似然函数极大值的问题。

3.对数似然函数（Log-Likelihood Function）：

对于一个样本集合，其对数似然函数为：

是样本的数量。

4.最大化对数似然函数：

要估计和，我们需要找到使得对数似然函数最大化的参数值。通常通过对分别对和求偏导数，并令偏导数等于零来找到极值点。

通过求解这两个方程，可以得到最大似然估计的和。

5.解方程：以上两个方程是非线性的，需要通过数值方法求解。通常使用数值优化算法（如牛顿法、梯度下降法等）来解这些方程，得到最大似然估计的和。

在代码中，stats.weibull_min.fit(data_flattened, floc=0) 函数就是使用最大似然估计来拟合威布尔分布。它会自动求解上述的最大似然估计方程，并返回估计的 k 和。

参考代码：

参考文献：

韩旭里. 《概率论与数理统计》. 高等教育出版社, 2015, p. 143.

最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的回归分析方法，用于拟合数据并估计未知参数。它的推导过程通常是针对线性回归的情况。在简单线性回归中，我们试图找到一条直线来拟合数据，使得观测数据与这条直线的残差平方和最小。

这里简要说明一下最小二乘法的推导过程，以简单线性回归为例：

假设我们有一组数据点，我们的目标是找到一条直线来拟合这些数据点，其中是直线的斜率，是直线的截距。

1.建立模型：我们的模型为简单线性回归模型：

其中，是因变量（观测值），是自变量（特征），是斜率，是截距，是误差项（随机误差）。

2.定义残差：对于第个数据点，我们定义残差为观测值与模型预测值之差：

3.残差平方和（Sum of Squared Residuals）：最小二乘法的目标是最小化残差的平方和，即残差平方和定义为所有残差的平方之和：

我们的目标是找到最优的斜率和截距 b，使得残差平方和 S 最小化。

4.最小化残差平方和：要找到最小化残差平方和的和，我们可以对分别对和求偏导数，并令偏导数等于零来求解最优解。

解这个方程可以得到最优的斜率。

解这个方程可以得到最优的截距。

这样，通过求解以上方程组，可以得到最小二乘法的估计值，使得残差平方和最小，即：

和

It’no use crying over spilted milk.